Qual é a fórmula do seno do arco duplo e como ela é usada para calcular \(\sin 2\alpha\) a partir de \(\sin \alpha\) e \(\cos \alpha\)?

Resposta

Fórmula: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\).

Essa fórmula permite calcular o seno do dobro de um ângulo sabendo o seno e o cosseno do ângulo original.

Exemplo prático:

Considere \(\alpha = 30^\circ\). Sabemos que \(\sin 30^\circ = 0,5\) e \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\).

Aplicando a fórmula do arco duplo:

\(\sin 2 \alpha = 2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot 0,5 \cdot 0,866 = 0,866\).

Portanto, \(\sin 60^\circ = 0,866\), que confirma o valor conhecido para o seno de \(60^\circ\).