Como se obtém o comprimento do segmento que liga a origem a um ponto de interseção da reta tangente ao círculo trigonométrico a partir da definição das razões trigonométricas?

Resposta

Os comprimentos são obtidos como inversos das funções trigonométricas seno e cosseno.

Para um círculo unitário, o segmento que forma a hipotenusa de um triângulo retângulo pode ser calculado usando as definições de seno e cosseno.
Se o cateto adjacente vale 1, então a hipotenusa será \( \frac{1}{\cos(x)} \).
Se o cateto oposto vale 1, então a hipotenusa será \( \frac{1}{\sin(x)} \).

Exemplo:
Considere um triângulo retângulo onde o cateto adjacente ao ângulo \( y = \frac{\pi}{4} \) mede 1 unidade.
Pela definição, temos:

\(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{hipotenusa}\)

Como \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), então

hipotenusa = \(\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}\).

Assim, o comprimento do segmento que liga a origem ao ponto da tangente correspondente é \(\sqrt{2}\) unidades.