Como expressar \( \cos(2\theta) \) em função de \( \cos(\theta) \) e \( \sin(\theta) \) para calcular \( \sec(2\theta) \)?

Resposta

Utilizamos a fórmula do cosseno do arco duplo:
\( \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \).

Exemplo:
Se \( \tan(\alpha) = \frac{1}{2} \), podemos determinar \( \sec(2\alpha) \) da seguinte forma.

Sabemos que \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{1}{2} \), então:

\( \sin(\alpha) = \frac{1}{2}\cos(\alpha) \).

Usando a identidade \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), substituímos:

\( \left( \frac{1}{2} \cos(\alpha) \right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \Rightarrow \frac{5}{4} \cos^2(\alpha) = 1 \Rightarrow \cos^2(\alpha) = \frac{4}{5} \).

Agora calculamos \( \cos(2\alpha) \):

\( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) - \left(\frac{1}{2} \cos(\alpha)\right)^2 = \cos^2(\alpha) - \frac{1}{4} \cos^2(\alpha) = \frac{3}{4} \cos^2(\alpha) \).

Substituindo \( \cos^2(\alpha) = \frac{4}{5} \):

\( \cos(2\alpha) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \).

Por fim, calculamos \( \sec(2\alpha) \):

\( \sec(2\alpha) = \frac{1}{\cos(2\alpha)} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3} \approx 1,67 \).