Flashcard FC189766
Qual é a relação fundamental entre as tangentes de três ângulos cuja soma é \(\pi\)?
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
CESGRANRIO · 2014
Qual é a relação fundamental entre as tangentes de três ângulos cuja soma é \(\pi\)?
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Resposta
\(\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z)\)Quando três ângulos \(x\), \(y\) e \(z\) satisfazem \(x + y + z = \pi\), a tangente da soma é zero, pois \(\tan(\pi) = 0\). Aplicando a fórmula da tangente da soma de três ângulos, a soma algébrica das tangentes e o produto das tangentes se relacionam pela equação:
\(\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z)\).
Exemplo:
Considere \(a = 30^\circ\), \(b = 60^\circ\) e \(c = 90^\circ\)
Verifique que \(a + b + c = 180^\circ = \pi\).
Calculando as tangentes:
\(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577\)
\(\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1,732\)
\(\tan(90^\circ)\) é indefinida, então vamos usar outro conjunto:
Considere \(a = 45^\circ\), \(b = 45^\circ\), e \(c = 90^\circ\) novamente não válido.
Então, vamos para \(a = 40^\circ\), \(b = 50^\circ\), \(c = 90^\circ\) não válido porque 90° é problema para tangente.
Use \(a = 45^\circ\), \(b = 60^\circ\), e \(c = 75^\circ\) (soma \(= 180^\circ\)):
\(\tan(45^\circ) = 1\)
\(\tan(60^\circ) \approx 1,732\)
\(\tan(75^\circ) \approx 3,732\)
Soma das tangentes:
\(1 + 1,732 + 3,732 = 6,464\)
Produto das tangentes:
\(1 \times 1,732 \times 3,732 = 6,464\)
Portanto:
\(\tan(a) + \tan(b) + \tan(c) = \tan(a) \tan(b) \tan(c)\).
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