Flashcard FC189774
Qual é a fórmula da tangente da soma de dois ângulos e como ela pode ser usada para simplificar expressões trigonométricas que envolvem somas e produtos de tangentes?
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
CESGRANRIO · 2012
Qual é a fórmula da tangente da soma de dois ângulos e como ela pode ser usada para simplificar expressões trigonométricas que envolvem somas e produtos de tangentes?
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Resposta
Fórmula:\(\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}\)
A fórmula da tangente da soma permite expressar a tangente da soma de dois ângulos em termos das tangentes individuais, o que facilita simplificar expressões que envolvem soma e produto de tangentes.
Exemplo:
Calcule: \( \tan 75^\circ \) usando \( \tan 45^\circ \) e \( \tan 30^\circ \).
Utilizando a fórmula:
\[\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}\] Sabemos que:
\(\tan 45^\circ = 1\), \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Substituindo:
\[\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}\] Multiplicando numerador e denominador por \(\sqrt{3}\):
\[\tan 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\] Que pode ser racionalizado para obter um valor numérico exato.
Assim, usar essa identidade simplifica a avaliação de tangentes de ângulos compostos.
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Geometria Plana: Trigonometria no Triângulo Retângulo
Veja como foi cobrado:
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