Qual é a soma das funções hiperbólicas \( \sinh x \) e \( \cosh x \) em termos da função exponencial?

Resposta

A soma é: \( \sinh x + \cosh x = e^x \).

Explicação:
As funções hiperbólicas são definidas como:
\( \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \)
e
\( \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \).
Somando essas expressões, temos:
\( \sinh x + \cosh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} + \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{2e^x}{2} = e^x \).
Isto indica que a soma das funções hiperbólicas gera a função exponencial de base \( e \) elevada a \( x \).

Exemplo:
Considere \( x = 2 \):
\( \sinh 2 = \frac{e^2 - e^{-2}}{2} \)
\( \cosh 2 = \frac{e^2 + e^{-2}}{2} \)
Logo,
\( \sinh 2 + \cosh 2 = \frac{e^2 - e^{-2}}{2} + \frac{e^2 + e^{-2}}{2} = e^2 \).