Flashcard FC189785
Como expressar \(\cos(2x)\) em função de \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\), e como determinar os sinais adequados das funções trigonométricas em cada quadrante?
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
CESGRANRIO · 2011
Como expressar \(\cos(2x)\) em função de \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\), e como determinar os sinais adequados das funções trigonométricas em cada quadrante?
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Resposta
Usamos a identidade \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\).Os sinais de \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\) dependem do quadrante em que o ângulo está.
No segundo quadrante, \(\sin(x) > 0\) e \(\cos(x) < 0\).
Exemplo:
Suponha que \(\tan(\theta) = 2\) e \(\theta\) está no terceiro quadrante.
Sabemos que \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\).
Então, \(\sin(\theta) = 2 \cos(\theta)\).
Para encontrar \(\sin(\theta)\) e \(\cos(\theta)\), usamos um triângulo retângulo com catetos 2 e 1,
hipotenusa: \(\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\).
Como \(\theta\) está no terceiro quadrante, \(\sin(\theta) < 0\) e \(\cos(\theta) < 0\).
Assim:
\( \sin(\theta) = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \)
\( \cos(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \)
Logo, \(\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 - \left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{5}{25} - \frac{20}{25} = -\frac{15}{25} = -\frac{3}{5}\).
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Geometria Plana: Trigonometria no Triângulo Retângulo
Veja como foi cobrado:
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