Flashcard FC189787
Como calcular a tangente de um ângulo agudo sabendo apenas o valor do seu seno?
Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
CESGRANRIO · 2010
Como calcular a tangente de um ângulo agudo sabendo apenas o valor do seu seno?
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Resposta
Para calcular a tangente, usamos a definição \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) e a relação \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). No caso de um ângulo agudo, \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}\).Explicação:
Para encontrar a tangente de um ângulo agudo a partir do seu seno, precisamos saber o valor de \(\cos x\). Utilizamos a identidade trigonométrica fundamental:
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Substituindo \(\sin x = s\), temos:
\(\cos^2 x = 1 - s^2\)
Como o ângulo é agudo, \(\cos x\) é positivo, logo:
\(\cos x = \sqrt{1 - s^2}\)
Agora, aplicando na definição da tangente:
\(\tan x = \frac{s}{\sqrt{1 - s^2}}\)
Exemplo:
Suponha que o seno de um ângulo agudo seja \(\frac{1}{3}\). Para determinar a tangente:
\(\sin x = \frac{1}{3}\)
\(\cos x = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Logo:
\(\tan x = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)
Portanto, \(\tan x = \frac{\sqrt{2}}{4}\).
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