Como determinar o valor da tangente de um ângulo no 1º quadrante a partir do valor do seno desse ângulo?

Resposta

Para encontrar a tangente, é necessário conhecer o seno e o cosseno do ângulo e aplicar a fórmula \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \).

Explicação:
Conhecendo o valor de \( \sin x \) para um ângulo \( x \) no 1º quadrante, podemos determinar \( \cos x \) pela identidade fundamental do ciclo trigonométrico:
\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
Isolando, temos:
\( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \) (positivo no 1º quadrante).
Depois, calcula-se
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \).
Esse processo é fundamental para relacionar razões trigonométricas quando uma delas é conhecida.

Exemplo:
Se \( \sin x = \frac{3}{5} \) e \( x \) está no 1º quadrante, determine \( \tan x \).

Utilizando a identidade:
\( \cos x = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).
Assim:
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \).