Flashcard FC189797
Quando uma matriz quadrada é ortogonal, qual é a relação entre sua inversa e sua transposta?
Matrizes
CESGRANRIO · 2022
Quando uma matriz quadrada é ortogonal, qual é a relação entre sua inversa e sua transposta?
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Resposta
Para uma matriz ortogonal:A inversa é igual à transposta, ou seja, A-1 = AT.
Explicação detalhada:
Uma matriz ortogonal possui colunas (e linhas) que formam um conjunto ortonormal, ou seja, são mutuamente perpendiculares e possuem norma 1.
Essa propriedade implica que quando multiplicamos a matriz pela sua transposta, obtemos a matriz identidade:
\(A \cdot A^T = I\)
Portanto, a transposta de uma matriz ortogonal é sua inversa.
Exemplo prático:
Considere a matriz de reflexão em torno do eixo X no plano XY:
\(M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
Sua transposta é:
\(M^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
Multiplicando M pela sua transposta:
\(M \cdot M^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I \)
Logo, M é uma matriz ortogonal e M-1 = MT.
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Veja como foi cobrado:
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