Flashcard FC189798
Como se determina a matriz inversa \(B\) de uma matriz quadrada \(A\) pelo sistema linear \(A \cdot B = I\)?
Matrizes
CESGRANRIO · 2018
Como se determina a matriz inversa \(B\) de uma matriz quadrada \(A\) pelo sistema linear \(A \cdot B = I\)?
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Resposta
A matriz \(B\) é a matriz inversa de \(A\), obtida ao resolver o sistema linear \(A \cdot B = I\).Para encontrar \(B\), considera-se seus elementos incógnitos e monta-se um sistema de equações a partir da multiplicação das matrizes, igualando ao elemento correspondente da matriz identidade. Resolve-se esse sistema para encontrar cada elemento de \(B\).
Exemplo:
Seja \(A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\) e \(B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\).
Queremos que \(A \cdot B = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\).
Multiplicando, temos:
\(3a + 2c = 1\)
\(3b + 2d = 0\)
\(1a + 4c = 0\)
\(1b + 4d = 1\)
Resolvendo o sistema:
- De \(1a + 4c = 0 \Rightarrow a = -4c\)
- Substituindo em \(3a + 2c = 1\): \(3(-4c) + 2c = 1 \Rightarrow -12c + 2c = 1 \Rightarrow -10c = 1 \Rightarrow c = -\frac{1}{10}\)
- Logo, \(a = -4 \times -\frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
- Para \(b\) e \(d\), de \(1b + 4d = 1\) temos \(b = 1 - 4d\)
- Substituindo em \(3b + 2d = 0\): \(3(1 - 4d) + 2d = 0 \Rightarrow 3 - 12d + 2d = 0 \Rightarrow 3 -10d = 0 \Rightarrow d = \frac{3}{10}\)
- Logo, \(b = 1 - 4 \times \frac{3}{10} = 1 - \frac{12}{10} = 1 - 1.2 = -0.2 = -\frac{1}{5}\)
Assim, a matriz inversa é:
\(B = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix}\).
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