Flashcard FC189799
Qual é a relação entre a inversa e a transposta de uma matriz ortogonal?
Matrizes
CESGRANRIO · 2018
Qual é a relação entre a inversa e a transposta de uma matriz ortogonal?
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Resposta
Para uma matriz ortogonal \( M \), vale que \( M^{-1} = M^t \).Uma matriz ortogonal é aquela cujas colunas (ou linhas) são vetores ortonormais, ou seja, são perpendiculares entre si e têm módulo 1.
Por essa razão, sua inversa coincide com a sua transposta, o que facilita muitos cálculos matemáticos.
Exemplo:
Considere a matriz ortogonal \( Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \).
A transposta de \( Q \) é \( Q^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \).
Calculando a inversa de \( Q \), teremos que \( Q^{-1} = Q^t \).
De fato, podemos comprovar:
\( Q \cdot Q^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \), onde \( I \) é a matriz identidade.
Assim, para matrizes ortogonais, a inversa e a transposta são a mesma matriz.
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