Flashcard FC189802
Qual é a relação entre a simetria de uma matriz e os valores possíveis da soma dos seus elementos da diagonal principal, considerando a quantidade total de zeros e uns na matriz?
Matrizes
CESGRANRIO · 2014
Qual é a relação entre a simetria de uma matriz e os valores possíveis da soma dos seus elementos da diagonal principal, considerando a quantidade total de zeros e uns na matriz?
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Resposta
A simetria da matriz implica que os elementos fora da diagonal são iguais aos seus simétricos, limitando a distribuição dos zeros e uns. Isso restringe os possíveis valores da soma dos elementos da diagonal principal.Exemplo: Considere uma matriz 3x3 simétrica com 3 elementos iguais a zero e 6 elementos iguais a um.
Sendo simétrica, os elementos fora da diagonal são pares iguais: \( a_{12} = a_{21} \), \( a_{13} = a_{31} \), \( a_{23} = a_{32} \).
Se a soma dos zeros fora da diagonal for 2 (formando um par zero simétrico), o terceiro zero deve estar na diagonal.
Assim, a soma dos elementos da diagonal principal pode ser:
\[a_{11} + a_{22} + a_{33} = 2 \text{ ou } 3 \]
Por exemplo:
\[\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1\end{bmatrix} \implies \text{soma da diagonal} = 0 + 1 + 1 = 2\]
ou \[\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 1\end{bmatrix} \implies \text{soma da diagonal} = 1 + 1 + 1 = 3\]
Assim, a simetria combina com a contagem de zeros e uns para definir os possíveis valores na diagonal.
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