Flashcard FC189803
Como encontrar a matriz de mudança de base inversa entre duas bases em \(\mathbb{R}^2\)?
Matrizes
CESGRANRIO · 2014
Como encontrar a matriz de mudança de base inversa entre duas bases em \(\mathbb{R}^2\)?
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Resposta
Basta calcular a inversa da matriz de mudança de base dada.Para encontrar a matriz de mudança de base da base \(\beta\) para \(\alpha\), quando se tem a matriz de mudança de base de \(\alpha\) para \(\beta\), basta calcular a inversa da matriz fornecida.
Isso ocorre porque a matriz de mudança de base é invertível e sua inversa permite trocar a direção da mudança.
Exemplo:
Considere a matriz de mudança de base de \(\alpha\) para \(\beta\):
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\)
Para encontrar a matriz de mudança de base de \(\beta\) para \(\alpha\), devemos calcular \(A^{-1}\).
Calculando o determinante:
\(det(A) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 4 - 3 = 1\)
A fórmula da inversa para matriz \(2 \times 2\) é:
\(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}\)
Portanto, a matriz inversa é:
\(A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}\), que é a matriz de mudança de base de \(\beta\) para \(\alpha\).
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