Flashcard FC189806
Como se determina a matriz \(X\) que satisfaz a equação matricial \(AX = B\) dado que \(A\) é invertível?
Matrizes
CESGRANRIO · 2011
Como se determina a matriz \(X\) que satisfaz a equação matricial \(AX = B\) dado que \(A\) é invertível?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Para encontrar \(X\), multiplica-se ambos os lados da equação por \(A^{-1}\), ou seja, \(X = A^{-1}B\).Explicação:
Quando temos a equação matricial \(AX = B\), e a matriz \(A\) é invertível, podemos isolar \(X\) multiplicando ambos os lados por \(A^{-1}\), isto é,
\(\quad A^{-1}AX = A^{-1}B \implies IX = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B\).
Isso ocorre porque a multiplicação pela matriz inversa "desfaz" a multiplicação feita por \(A\), solucionando para \(X\).
Exemplo:
Considere
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\) e \(B = \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}\).
Primeiro, calculamos \(A^{-1}\):
Determinante de \(A\), \(det(A) = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5\).
Então, \[A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\]
Agora, calculamos \(X = A^{-1} B\):
\[X = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 \times 7 + (-3) \times 6 & 4 \times 5 + (-3) \times 8 \\ (-1) \times 7 + 2 \times 6 & (-1) \times 5 + 2 \times 8 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 28 -18 & 20 -24 \\ -7 +12 & -5 +16 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 10 & -4 \\ 5 & 11 \end{bmatrix}\]
Finalmente: \[X = \begin{bmatrix} 2 & -0.8 \\ 1 & 2.2 \end{bmatrix}\]
Portanto, \(X\) é a matriz que satisfaz \(AX = B\).
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Matrizes e Problemas Matriciais
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188673
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em