Flashcard FC189807
Como se determina a matriz \(X\) na equação matricial \(AX = B\) quando \(A\) e \(B\) são matrizes quadradas?
Matrizes
CESGRANRIO · 2011
Como se determina a matriz \(X\) na equação matricial \(AX = B\) quando \(A\) e \(B\) são matrizes quadradas?
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Resposta
Calcula-se \(X\) resolvendo o sistema linear resultante da igualdade \(A \cdot X = B\), ou invertendo a matriz \(A\) quando possível, assim \(X = A^{-1}B\).Explicação detalhada:
Quando temos a equação matricial \(AX = B\), para encontrar \(X\), podemos usar duas estratégias principais: montar um sistema de equações para as entradas desconhecidas de \(X\), ou calcular a matriz inversa de \(A\), caso esta exista.
Se \(A\) for invertível, multiplicamos ambos os lados da equação por \(A^{-1}\) à esquerda:
\[A^{-1}AX = A^{-1}B \Rightarrow I \cdot X = A^{-1}B \Rightarrow X = A^{-1}B\]
No caso de montar o sistema de equações, considera-se \(X = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\), multiplica-se \(A\) por \(X\) e iguala-se cada elemento do resultado à correspondente entrada de \(B\). Assim, obtém-se um sistema linear para \(a, b, c, d\), que pode ser resolvido por métodos convencionais.
Exemplo:
Considere:
\(A = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix}5 & 4 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\), e \(X = \begin{bmatrix}x & y \\ z & w\end{bmatrix}\).
Multiplicando \(A \cdot X\):
\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x & y \\ z & w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2x + 1z & 2y + 1w \\ 0 \cdot x + 1 \cdot z & 0 \cdot y + 1 \cdot w\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & 4 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\]
Igualando elemento a elemento:
\(2x + z = 5\)
\(2y + w = 4\)
\(z = 1\)
\(w = 2\)
Substituindo \(z\) e \(w\) nas primeiras equações:
\(2x + 1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\)
\(2y + 2 = 4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1\)
Logo:
\[X = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\]
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Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188674
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