Flashcard FC189809
Como calcular a soma de todos os elementos de uma matriz quadrada \(A\), de ordem \(n\), em que cada elemento é dado pelo produto dos índices \(a_{ij} = i \times j\)?
Matrizes
CESGRANRIO · 2010
Como calcular a soma de todos os elementos de uma matriz quadrada \(A\), de ordem \(n\), em que cada elemento é dado pelo produto dos índices \(a_{ij} = i \times j\)?
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Resposta
Para calcular a soma, multiplica-se a soma dos índices das linhas pela soma dos índices das colunas.Assim, a soma total é \(\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2\).
Exemplo:
Considere uma matriz \(B\) de ordem 3, em que cada elemento \(b_{ij} = i \times j\).
Calcule a soma dos elementos de \(B\):
\[\sum_{k=1}^3 k = 1 + 2 + 3 = 6\]
Portanto, a soma total será:
\[(1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36\]
Visualmente:
\[B = \begin{bmatrix}1 \times 1 & 1 \times 2 & 1 \times 3 \\2 \times 1 & 2 \times 2 & 2 \times 3 \\3 \times 1 & 3 \times 2 & 3 \times 3 \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 4 & 6 \\3 & 6 & 9 \\\end{bmatrix}\]
Somando seus elementos:
\(1 + 2 + 3 + 2 + 4 + 6 + 3 + 6 + 9 = 36\)
Este resultado confirma a fórmula dada.
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Veja como foi cobrado:
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