Flashcard FC189812
Como se utiliza a fatoração \( PA = LU \) para encontrar a solução do sistema linear \( AX = B \)?
Matrizes
CESGRANRIO · 2010
Como se utiliza a fatoração \( PA = LU \) para encontrar a solução do sistema linear \( AX = B \)?
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Resposta
A solução é dada por \( X = (LU)^{-1} (PB) \), onde \( P \) é matriz de permutação, \( L \) e \( U \) são triangulares, resultantes da fatoração.Explicação:
Para resolver o sistema \( AX = B \), quando sabemos que \( PA = LU \), multiplicamos ambos os lados da equação \( AX = B \) por \( P \), obtendo \( PAX = PB \). Como \( PA = LU \), substituímos e temos \( (LU)X = PB \). Para isolar \( X \), aplicamos a inversa de \( LU \), ou seja, \( X = (LU)^{-1}(PB) \).
Exemplo:
Considere o sistema \( AX = B \), em que
\( A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \end{bmatrix} \).
Suponha que a fatoração com permutação seja dada por \( P, L, U \) tal que:
\( P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \),
\( L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{2}{3} & 1 \end{bmatrix} \),
\( U = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) (exemplo ilustrativo).
Multiplicamos \( B \) por \( P \):
\( PB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 10 \\ 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 10 \end{bmatrix} \).
Assim, a solução é:
\( X = (LU)^{-1}(PB) \).
Ou seja, resolvendo:
\( (LU)X = PB \) pode ser feito em etapas, primeiro \( LY = PB \), depois \( UX = Y \), usando substituições progressiva e regressiva.
Esse procedimento evita calcular diretamente a inversa de \( A \), tornando a resolução do sistema mais eficiente.
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