Flashcard FC189817
Como encontrar a matriz original \(N\) a partir de uma matriz codificada \(N'\) e a matriz de codificação \(C\), dada a relação \(N' = NC\)?
Matrizes
CESGRANRIO · 2010
Como encontrar a matriz original \(N\) a partir de uma matriz codificada \(N'\) e a matriz de codificação \(C\), dada a relação \(N' = NC\)?
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Resposta
Para encontrar a matriz original \(N\), devemos resolver o sistema de equações lineares obtido pela multiplicação \(N' = NC\), sendo que os elementos de \(N\) são variáveis desconhecidas.Exemplo:
Considere que recebemos a matriz codificada
\(N' = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 15 & 11 \end{bmatrix}\)
e a matriz de codificação
\(C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\).
Queremos encontrar a matriz original \(N = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) tal que
\(N \times C = N'\).
Montamos o sistema de equações:
\(\begin{cases} 2a + 3b = 10 \\ a + 4b = 5 \\ 2c + 3d = 15 \\ c + 4d = 11 \end{cases}\)
Resolvendo o primeiro par:
Da segunda equação, \(a = 5 - 4b\). Substituindo na primeira:
\(2(5 - 4b) + 3b = 10 \Rightarrow 10 - 8b + 3b = 10 \Rightarrow -5b = 0 \Rightarrow b = 0\).
Logo, \(a = 5 - 0 = 5\).
Para o segundo par:
Da quarta, \(c = 11 - 4d\). Substituindo na terceira:
\(2(11 - 4d) + 3d = 15 \Rightarrow 22 - 8d + 3d = 15 \Rightarrow -5d = -7 \Rightarrow d = \frac{7}{5} = 1{,}4\).
Logo, \(c = 11 - 4(1{,}4) = 11 - 5{,}6 = 5{,}4\).
Assim, a matriz original é
\(N = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 5{,}4 & 1{,}4 \end{bmatrix}\).
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Veja como foi cobrado:
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