Flashcard FC189820
Qual é a fórmula do determinante da matriz de Vandermonde para três valores distintos \(m\), \(n\) e \(p\)?
Determinantes
CESGRANRIO · 2017
Qual é a fórmula do determinante da matriz de Vandermonde para três valores distintos \(m\), \(n\) e \(p\)?
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Resposta
O determinante é dado por: \( = (n - m)(p - n)(p - m)\).Explicação:
A matriz apresentada é uma matriz de Vandermonde para a ordem 3, onde a primeira linha é de 1’s, a segunda linha é os valores \(m, n, p\) e a terceira linha é seus quadrados.
Seu determinante pode ser calculado diretamente pela fórmula do determinante para matrizes de Vandermonde:
\[\det A = (n - m)(p - n)(p - m)\]
Isso ocorre porque o determinante mede o volume do paralelogramo formado pelos vetores das colunas, e a diferença entre os valores reflete essa separação.
Exemplo prático:
Considere \(m=1\), \(n=3\) e \(p=5\), números ímpares consecutivos não necessariamente estritos, apenas distintos para o exemplo.
Então, \[\det A = (3 - 1)(5 - 3)(5 - 1) = 2 \times 2 \times 4 = 16\]
Assim, o determinante da matriz \[\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\1 & 3 & 5 \\1^2 & 3^2 & 5^2\end{bmatrix}\]é 16.
Esse cálculo simples é a base para resolver questões envolvendo essas matrizes específicas e facilita a avaliação do problema sem necessitar de cálculo do determinante pela regra de Sarrus ou expansão de cofatores.
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