Flashcard FC189821
Como se calcula o determinante da matriz inversa da transposta de uma matriz quadrada?
Determinantes
CESGRANRIO · 2014
Como se calcula o determinante da matriz inversa da transposta de uma matriz quadrada?
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Resposta
Para qualquer matriz quadrada \(M\), o determinante da inversa da transposta é o inverso do determinante da matriz original.Isso ocorre porque:
1. O determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original:
\( \det(M^T) = \det(M) \).
2. O determinante da inversa da matriz é o inverso do determinante da matriz:
\( \det(M^{-1}) = \frac{1}{\det(M)} \).
Assim:
\( \det\big((M^T)^{-1}\big) = \frac{1}{\det(M^T)} = \frac{1}{\det(M)} \).
Exemplo:
Considere a matriz \(A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\).
Calcule o determinante de \(A\):
\( \det(A) = 2 \times 3 - 5 \times 1 = 6 - 5 = 1 \).
Como o determinante de \(A\) é 1, o determinante da transposta \(A^T\) também é 1.
O determinante da inversa da transposta é:
\( \det\left((A^T)^{-1}\right) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1 \).
Portanto, o valor do determinante da inversa da transposta de \(A\) é 1.
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