Flashcard FC189824
Qual a propriedade fundamental do determinante do produto de matrizes que permite relacionar \(\det (A \cdot B)\) com \(\det A\) e \(\det B\)?
Determinantes
CESGRANRIO · 2012
Qual a propriedade fundamental do determinante do produto de matrizes que permite relacionar \(\det (A \cdot B)\) com \(\det A\) e \(\det B\)?
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Resposta
A propriedade do determinante do produto afirma que \(\det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B\).Explicação detalhada:
Essa propriedade é essencial para resolver questões envolvendo produtos matriciais, pois permite calcular o determinante do produto conhecendo os determinantes das matrizes envolvidas.
Por exemplo, considere as matrizes:
\(M = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\) e \(N = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\).
Primeiro, calculemos \(\det M\):
\(\det M = 2 \times 3 - 0 \times 1 = 6\).
Em seguida, \(\det N\):
\(\det N = 4 \times 2 - 0 \times 1 = 8\).
Então, pelo teorema do determinante do produto:
\(\det (M \cdot N) = \det M \times \det N = 6 \times 8 = 48\).
Calculando diretamente o produto:
\(M \cdot N = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 4 + 1 \times 1 & 2 \times 0 + 1 \times 2 \\ 0 \times 4 + 3 \times 1 & 0 \times 0 + 3 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\).
Verificando o determinante desse produto:
\(\det (M \cdot N) = 9 \times 6 - 2 \times 3 = 54 - 6 = 48\), confirmando a propriedade.
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