Flashcard FC189826
Como se calcula o determinante de uma matriz quadrada utilizando o Teorema de Laplace?
Determinantes
CESGRANRIO · 2011
Como se calcula o determinante de uma matriz quadrada utilizando o Teorema de Laplace?
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Resposta
O determinante é calculado pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores.O Teorema de Laplace permite calcular o determinante de uma matriz quadrada expandindo por qualquer linha ou coluna.
Para cada elemento da linha ou coluna escolhida, calcula-se o cofator, que é dado por \(C_{ij} = (-1)^{i+j} \times \det(M_{ij})\), onde \(M_{ij}\) é a matriz menor obtida ao eliminar a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Exemplo:
Considere a matriz \(A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\).
Vamos calcular \(\det(A)\) expandindo pela segunda coluna (elementos 0, 0 e 1):
\( \det(A) = 0 \times C_{12} + 0 \times C_{22} + 1 \times C_{32} \)
Como os dois primeiros termos são zero, só precisamos calcular \(C_{32}\):
\( C_{32} = (-1)^{3+2} \times \det \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} = (-1)^5 \times (3 \times -2 - 2 \times 2) = -1 \times (-6 - 4) = 10 \)
Assim, \(\det(A) = 1 \times 10 = 10\).
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