Flashcard FC189831
Como determinar a relação entre os expoentes quando o determinante de uma matriz com entradas em forma de potências de mesma base é nulo?
Determinantes
CESGRANRIO · 2010
Como determinar a relação entre os expoentes quando o determinante de uma matriz com entradas em forma de potências de mesma base é nulo?
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Resposta
Igualando os expoentes, pois o determinante nulo significa que as potências com a mesma base são iguais.Quando o determinante é zero, temos uma equação do tipo \( a^{m} = a^{n} \) com base \( a \neq 0,1 \). Assim, para que essa igualdade seja verdadeira, basta que \( m = n \).
Por exemplo:
Considere a matriz
\( B = \begin{bmatrix} 3^{p} & 3^{2q} \\ 3^{4p} & 3^{q} \end{bmatrix} \).
O determinante é
\( \det B = 3^{p} \cdot 3^{q} - 3^{2q} \cdot 3^{4p} = 3^{p+q} - 3^{2q+4p} \).
Para \( \det B = 0 \), temos:
\( 3^{p+q} = 3^{2q+4p} \Rightarrow p + q = 2q + 4p \).
Rearranjando:
\( p + q = 2q + 4p \Rightarrow p - 4p = 2q - q \Rightarrow -3p = q \Rightarrow q = -3p \).
Portanto, a relação entre \( p \) e \( q \) quando o determinante de \( B \) é nulo é \( q = -3p \).
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