Flashcard FC189836
Qual condição a matriz dos coeficientes de um sistema linear homogêneo deve satisfazer para que o sistema possua infinitas soluções?
Sistemas Lineares
CESGRANRIO · 2018
Qual condição a matriz dos coeficientes de um sistema linear homogêneo deve satisfazer para que o sistema possua infinitas soluções?
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Resposta
Para que um sistema linear homogêneo tenha infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero.Isso ocorre porque um determinante igual a zero indica que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes, o que gera um posto da matriz menor do que o número de variáveis, permitindo a existência de infinitas soluções.
Exemplo:
Considere o sistema homogêneo: \[\begin{cases} 2x + 4y = 0 \\x + 2y = 0 \end{cases}\]A matriz dos coeficientes é \[\begin{pmatrix}2 & 4 \\1 & 2 \end{pmatrix}\]Calculando o determinante: \[\det = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = 0\]Como o determinante é zero, o sistema possui infinitas soluções, além da trivial (x = 0, y = 0).
Por exemplo, da segunda equação, \(x = -2y\), representando infinitas soluções parametrizadas em termos de \(y\).
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