Qual é a condição necessária envolvendo o determinante da matriz dos coeficientes para que um sistema linear não tenha solução?

Resposta

O determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero.

Quando o determinante da matriz dos coeficientes \( A \) é zero, significa que as colunas dessa matriz são linearmente dependentes, e o sistema pode não ter soluções únicas.

Exemplo:

Considere o sistema:

\( \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases} \)

A matriz dos coeficientes é:

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \)

Calculando o determinante:

\( \det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0 \)

Como \( \det(A) = 0 \), o sistema pode ser indeterminado (infinitas soluções) ou impossível, dependendo dos termos independentes. No caso acima, substituindo, vemos que as equações são inconsistentes, indicando que o sistema não tem solução.