Como identificar que o conjunto solução de um sistema linear formado por três equações e três variáveis é uma reta?

Resposta

O conjunto solução é uma reta quando existe uma única variável livre que pode assumir qualquer valor real, e as outras variáveis são expressas em função dessa variável.

Explicação:
Em um sistema linear com três variáveis, se as equações são dependentes de modo que, ao resolver, isolamos duas variáveis em função de uma terceira, indicamos que há infinitas soluções dispostas ao longo de uma reta no espaço tridimensional.
Isso ocorre porque a dimensão do espaço solução é 1, ou seja, parametrizado por um único parâmetro livre.

Exemplo prático:
Considere o sistema:
\(\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \\ 3x + 4y + 2z = 0 \end{cases}\)

Isolando \(z\) da primeira equação:
\(z = -x - y\)

Substitui-se \(z\) nas outras duas:
\(2x + 3y - x - y = x + 2y = 0\)
\(3x + 4y - 2x - 2y = x + 2y = 0\)

Percebe-se que as duas últimas equações se reduzem a uma única:
\(x + 2y = 0 \Rightarrow x = -2y\)

Assim:
\(x = -2\lambda\), \(y = \lambda\), \(z = -x - y = 2\lambda - \lambda = \lambda\), com \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Portanto, o conjunto solução é a reta parametrizada por:
\(<-2\lambda, \lambda, \lambda>\).