Flashcard FC189849
Qual é a condição necessária para que um sistema linear de três equações e três incógnitas seja possível e indeterminado?
Sistemas Lineares
CESGRANRIO · 2012
Qual é a condição necessária para que um sistema linear de três equações e três incógnitas seja possível e indeterminado?
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Resposta
Em um sistema possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero.Um sistema linear com três equações e três incógnitas é possível e indeterminado quando existem infinitas soluções que satisfazem as equações.
Isso ocorre se e somente se o determinante \(D\) da matriz dos coeficientes for igual a zero (\(D = 0\)). Além disso, para garantir que o sistema não seja impossível, os determinantes formados pelas substituições das colunas da matriz pelos termos independentes (como \(D_x\), \(D_y\), e \(D_z\)) também devem ser zero.
Por exemplo, considere o sistema:
\[\begin{cases}x + 2y + 3z = 4 \\2x + 4y + 6z = 8 \\3x + 6y + 9z = 12\end{cases}\]
A matriz dos coeficientes é: \[\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 4 & 6 \\3 & 6 & 9\end{pmatrix}\], cujo determinante é \( D = 0 \) (porque as linhas são proporcionais).
Além disso, substituindo a primeira coluna pelos termos independentes para calcular \(D_x\), temos também \(D_x = 0\), e o mesmo acontece para \(D_y\) e \(D_z\).
Logo, o sistema é possível e indeterminado, possuindo infinitas soluções.
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