Flashcard FC189850
Quais condições nos determinantes indicam que um sistema linear é impossível?
Sistemas Lineares
CESGRANRIO · 2012
Quais condições nos determinantes indicam que um sistema linear é impossível?
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Resposta
O sistema é impossível quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero e pelo menos um dos determinantes das matrizes obtidas pela substituição das colunas dos coeficientes pelos termos independentes é diferente de zero.Para entender melhor:
Considere o sistema linear
\(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 4x + 2y = k \end{cases}\)
A matriz dos coeficientes é:
\( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \) com determinante
\( D = (2)(2) - (1)(4) = 4 - 4 = 0 \)
Como \(D = 0\), o sistema pode ser impossível ou ter infinitas soluções.
Substituindo a primeira coluna por termos independentes para formar \(D_x\):
\( D_x = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ k & 2 \end{vmatrix} = (5)(2) - (1)(k) = 10 - k \)
Se \(D_x \neq 0\), ou seja, \(10 - k \neq 0 \Rightarrow k \neq 10\), o sistema é impossível.
Se \(k = 10\), \(D_x = 0\), e o sistema pode ter infinitas soluções.
Portanto, para que o sistema seja impossível, temos:
\(D = 0\) e pelo menos um determinante das matrizes modificadas \(\neq 0\).
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