Como podemos resolver um sistema linear com duas variáveis quando uma das equações pode ser simplificada por um fator comum?

Resposta

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos pelo fator comum e depois usar métodos como substituição ou subtração para resolver o sistema.

Exemplo:
Considere o sistema:

\( 3x + 6y = 12 \tag{1} \)

\( 2x + 4y = 8 \tag{2} \)

Note que a equação (1) pode ser simplificada dividindo todos os termos por 3:

\( x + 2y = 4 \tag{3} \)

Agora, temos:

\( x + 2y = 4 \)

\( 2x + 4y = 8 \)

Multiplicamos (3) por 2 para facilitar a subtração:

\( 2x + 4y = 8 \tag{4} \)

Subtraindo (4) da equação (2):

\( (2x + 4y) - (2x + 4y) = 8 - 8 \Rightarrow 0 = 0 \)

Isso indica que as duas equações são dependentes e representam a mesma reta, logo, existem infinitas soluções. Em tal caso, para encontrar \( x + y \), podemos escolher um valor para \( y \) e calcular \( x \). Por exemplo, para \( y = 1 \):

\( x + 2(1) = 4 \Rightarrow x = 4 - 2 = 2 \)

Portanto:

\( x + y = 2 + 1 = 3 \)