Como identificar se um sistema linear de duas equações e duas incógnitas é incompatível, ou seja, não tem solução?

Resposta

Para que um sistema seja incompatível, as retas devem ser paralelas e distintas. Isso ocorre quando as razões dos coeficientes das variáveis são iguais, mas a razão dos termos independentes é diferente.

Por exemplo, considere o sistema:

\(\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}\)

Note que:

\(\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Mas,

\(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)

Nesse caso, as razões são iguais, indicando que as duas equações representam a mesma reta - sistema possível e indeterminado.

Agora, considere:

\(\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases}\)

As razões dos coeficientes ainda são:

\(\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Mas a razão dos termos independentes é diferente:

\(\frac{5}{12} \neq \frac{1}{2}\)

Isso indica que as retas são paralelas e distintas, portanto, o sistema é incompatível e não possui solução.