Flashcard FC189859
O que caracteriza um sistema linear como possível e indeterminado?
Sistemas Lineares
CESGRANRIO · 2011
O que caracteriza um sistema linear como possível e indeterminado?
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Resposta
Um sistema é possível e indeterminado quando possui infinitas soluções, o que ocorre se o determinante da matriz dos coeficientes for zero e os determinantes das matrizes substituídas também forem zero.Explicação:
Para um sistema linear ser possível e indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero, indicando que as equações não são linearmente independentes.
Além disso, ao substituir os coeficientes da variável por seus respectivos termos independentes (formando as matrizes adjuntas), o determinante dessas novas matrizes deve ser zero para garantir que o sistema não seja impossível.
Exemplo:
Considere o sistema:
\( \begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 3 \end{cases} \)
A matriz dos coeficientes e seu determinante são:
\( \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = 0 \)
Como o determinante é zero, pode haver infinitas soluções ou nenhum.
Agora, substituímos os coeficientes de \(x\) pelos termos independentes e calculamos o determinante:
\( D_x = \begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (6)(2) - (4)(3) = 12 - 12 = 0 \)
Como \(D_x = 0\), o sistema possui infinitas soluções e é, portanto, possível e indeterminado.
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