Quando um sistema linear possui infinitas soluções, qual é a relação entre seus coeficientes?

Resposta

Os coeficientes das equações são proporcionais entre si.

Explicação completa:
Um sistema linear tem infinitas soluções quando as equações são múltiplos exatos uma da outra, ou seja, quando seus coeficientes e termos independentes são proporcionais.
Isso significa que uma equação pode ser obtida multiplicando a outra por uma constante.
Dessa forma, não são duas equações distintas, mas sim a mesma representada de formas diferentes, gerando infinitas soluções.

Exemplo prático:
Considere o sistema:
\( \begin{cases} 4x + 2y = 6 \\ 2x + y = 3 \end{cases} \)
Observe que multiplicando a segunda equação por 2, temos:
\( 2 \times (2x + y) = 2 \times 3 \implies 4x + 2y = 6 \)
Como a primeira equação é exatamente a segunda multiplicada por 2, o sistema possui infinitas soluções. Essa proporcionalidade entre coeficientes resulta em dependência entre as equações.