Como se relaciona o conjugado do produto de dois números complexos com o produto dos seus conjugados?

Resposta

O conjugado do produto de dois números complexos é igual ao produto dos conjugados.

Isso significa que, para números complexos \(a\) e \(b\), vale a propriedade:

\(\overline{ab} = \overline{a} \cdot \overline{b}\)

Exemplo prático:

Considerando os números complexos \(a = 3 + 4i\) e \(b = 1 - 2i\), vamos verificar a propriedade:

Produto:

\(ab = (3 + 4i)(1 - 2i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-2i) + 4i \cdot 1 + 4i \cdot (-2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^{2}\)

\(= 3 - 2i + 8 = 11 - 2i\) (usando \(i^2 = -1\))

Conjugado do produto:

\(\overline{ab} = \overline{11 - 2i} = 11 + 2i\)

Conjugados individuais e depois produto:

\(\overline{a} = 3 - 4i\) e \(\overline{b} = 1 + 2i\)

\(\overline{a} \cdot \overline{b} = (3 - 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i - 4i - 8i^{2} = 3 + 2i + 8 = 11 + 2i\)

Portanto, \(\overline{ab} = \overline{a} \cdot \overline{b} = 11 + 2i\), confirmando a propriedade.