Flashcard FC189875
Qual é a condição para que uma potência de um número complexo expresso na forma trigonométrica seja um número real?
Números Complexos
CESGRANRIO · 2018
Qual é a condição para que uma potência de um número complexo expresso na forma trigonométrica seja um número real?
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Resposta
O argumento da potência deve ser múltiplo inteiro de π.Para que a potência de um número complexo na forma trigonométrica \( r \cdot \text{cis}(\theta) \) resulte em um número real, o ângulo multiplicado pela potência deve ser congruente a zero módulo π, ou seja:
\( n \cdot \theta = m \pi \), com \( m \in \mathbb{Z} \).
Isso porque os números reais correspondem a argumentos iguais a \(0\) ou \( \pi \) (180°), ou múltiplos desses. Assim, se o argumento da potência for um múltiplo de π, a parte imaginária zera e o número é real.
Exemplo prático:
Considere o número complexo \( Q = 2 \cdot \text{cis} \left(\frac{\pi}{4}\right) \). Queremos encontrar o menor valor natural de \( n \) tal que \( Q^n \) seja real.
O argumento de \( Q^n \) é:
\( n \cdot \frac{\pi}{4} = m \pi \Rightarrow n = \frac{4m}{1} \).
Para \( n \) ser inteiro, \( m \) pode ser 1, então:
\( n = 4 \).
Portanto, o menor \( n \) para que \( Q^n \) seja real é 4. Com isso:
\( Q^4 = 2^4 \cdot \text{cis}\left(4 \times \frac{\pi}{4}\right) = 16 \cdot \text{cis}(\pi) = -16 \) (número real).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188742
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