Flashcard FC189878
Como se determina o argumento do quociente de dois números complexos expressos em forma trigonométrica?
Números Complexos
CESGRANRIO · 2012
Como se determina o argumento do quociente de dois números complexos expressos em forma trigonométrica?
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Resposta
Para o quociente \( z = \frac{z_1}{z_2} \), o argumento é dado por \( \arg(z) = \arg(z_1) - \arg(z_2) \) (mod \( 2\pi \)).Exemplo:
Considere os números complexos \( z_1 = 1 + i\sqrt{3} \) e \( z_2 = -1 + i \).
Calculamos seus argumentos:
\[ \arg(z_1) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \]
\( z_1 \) está no primeiro quadrante.
Para \( z_2 \), note que \( a = -1 \) e \( b = 1 \), então:
\[ \arg(z_2) = \pi - \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \]
(considerando que \( z_2 \) está no segundo quadrante).
Então, o argumento do quociente é:
\[ \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{12} \]
Em módulo \( 2\pi \), isso equivale a:
\[ 2\pi - \frac{5\pi}{12} = \frac{19\pi}{12} \]
Portanto, o argumento do quociente é \( \frac{19\pi}{12} \).
Veja como foi cobrado:
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