Flashcard FC189882
Como calcular o número complexo obtido pela rotação de um ponto no plano complexo em torno da origem por um ângulo \(\alpha\)?
Números Complexos
CESGRANRIO · 2011
Como calcular o número complexo obtido pela rotação de um ponto no plano complexo em torno da origem por um ângulo \(\alpha\)?
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Resposta
Para calcular o número complexo após a rotação, multiplica-se o número original por \(e^{i \alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha\).Assim, a rotação equivale a somar o ângulo \(\alpha\) ao argumento do número complexo, mantendo o módulo.
Exemplo prático:
Considere o número complexo \(w = 1 + i\). Queremos rotacioná-lo em 90º (ou \(\frac{\pi}{2}\) radianos) no sentido anti-horário.
O módulo de \(w\) é:
\(\rho = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
O argumento inicial é:
\(\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = 45^\circ\)
Após a rotação de 90º, o novo argumento será:
\(\theta' = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ\)
As partes real e imaginária do novo número serão:
\[ \text{Parte real} = \rho \cos \theta' = \sqrt{2} \cos 135^\circ = \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 \]
\[ \text{Parte imaginária} = \rho \sin \theta' = \sqrt{2} \sin 135^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \]
Portanto, o número complexo após a rotação é:
\[ w' = -1 + i \]
Veja como foi cobrado:
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