Flashcard FC189885
Como se calcula o produto de um número complexo por um número complexo na forma exponencial usando a fórmula de Euler?
Números Complexos
CESGRANRIO · 2011
Como se calcula o produto de um número complexo por um número complexo na forma exponencial usando a fórmula de Euler?
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Resposta
Em geral, multiplica-se o número complexo dado pela forma algébrica pelo número complexo expresso na forma \( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \). Depois aplica-se a distributiva e agrupa-se as partes real e imaginária.Exemplo: Calcule \( (1 + 2i) \cdot e^{i \frac{\pi}{4}} \).
Usamos a fórmula de Euler:
\( e^{i \frac{\pi}{4}} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Multiplicamos:
\( (1 + 2i) \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = (1)(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (1)(i \frac{\sqrt{2}}{2}) + (2i)(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (2i)(i \frac{\sqrt{2}}{2}) \)
Calculando cada termo:
\( = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} + 2i^2 \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Como \( i^2 = -1 \), temos:
\( = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sqrt{2} - \sqrt{2} \)
Agrupando a parte real:
\( \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
Agrupando a parte imaginária:
\( \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \)
Resultado final:
\( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{3\sqrt{2}}{2} \)
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188752
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