Como se calcula o módulo de um número complexo e como você verificaria se o módulo de um número é o dobro do módulo de outro?

Resposta

O módulo de um número complexo \( z = a + bi \) é calculado por \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \).
Para verificar se o módulo de um número complexo é o dobro do módulo de outro, comparamos o módulo do primeiro com \( 2|z| \).

Exemplo:

Considere os números complexos \( u = 3 + 4i \) e \( v = x + yi \).
Calculando \( |u| \):

\( |u| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Se quisermos \( |v| = 2|u| = 2 \times 5 = 10 \), então:

\( |v| = \sqrt{x^2 + y^2} = 10 \implies x^2 + y^2 = 100 \)

Assim, qualquer número complexo cujas partes reais e imaginárias satisfaçam \( x^2 + y^2 = 100 \) terá módulo o dobro de \( u \).