Flashcard FC189891
Como calcular a área da figura geométrica formada pela imagem de uma função complexa linear definida por \(f(x+yi) = u(x,y) + v(x,y)i\), quando \(x\) e \(y\) variam em intervalos d
Números Complexos
CESGRANRIO · 2010
Como calcular a área da figura geométrica formada pela imagem de uma função complexa linear definida por \(f(x+yi) = u(x,y) + v(x,y)i\), quando \(x\) e \(y\) variam em intervalos dados?
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Resposta
Multiplicando a base pela altura do paralelogramo formado pelos vértices da imagem.Para calcular a área da figura geométrica gerada pela imagem da função complexa linear, primeiramente identificamos os vértices da figura aplicando os extremos dos intervalos de \(x\) e \(y\) na função.
Depois, interpretamos esses pontos no plano complexo como coordenadas e verificamos a figura formada.
Geralmente, para funções afins, essa imagem forma um paralelogramo.
A área do paralelogramo é calculada como base vezes altura.
Exemplo: Considere a função complexa \(g(z) = u(a,b) + v(a,b)i\) com
\(u(a,b) = 3a - b\) e \(v(a,b) = 4a + 2b\),
onde \(a \in [0,2]\) e \(b \in [0,1]\).
Calculamos os vértices da imagem:
\(g(0 + 0i) = 0 + 0i\)
\(g(2 + 0i) = 3 \cdot 2 - 0 + i(4 \cdot 2 + 0) = 6 + 8i\)
\(g(0 + 1i) = 0 - 1 + i(0 + 2) = -1 + 2i\)
\(g(2 + 1i) = 3 \cdot 2 - 1 + i(4 \cdot 2 + 2) = 5 + 10i\)
Esses pontos formam um paralelogramo.
Base = vetor entre \(0 + 0i\) e \(6 + 8i\), módulo: \(\sqrt{6^2 + 8^2} = 10\)
Altura = distância do ponto \(-1 + 2i\) ao lado base, calculada por produto vetorial ou fórmula de distância entre pontos e reta.
Neste caso, altura = 1.
Logo, área = base × altura = \(10 \times 1 = 10\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188758
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