Como se calcula o módulo de um número complexo e qual é a relação entre os módulos quando dois números complexos possuem o mesmo módulo?

Resposta

O módulo de um número complexo \(z = a + bi\) é calculado pela fórmula \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Quando dois números complexos têm o mesmo módulo, seus valores satisfazem \(|z_1| = |z_2|\), ou seja, \(\sqrt{a_1^2 + b_1^2} = \sqrt{a_2^2 + b_2^2}\).

Exemplo:

Sejam os números complexos \(w_1 = 3 + 4i\) e \(w_2 = x + 7i\), e suponha que \(|w_1| = |w_2|\). Para encontrar \(x\), calculamos:

\(|w_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

\(|w_2| = \sqrt{x^2 + 7^2} = \sqrt{x^2 + 49}\)

Igualando os módulos:

\(\sqrt{25} = \sqrt{x^2 + 49} \implies 25 = x^2 + 49\)

Rearranjando:

\(x^2 = 25 - 49 = -24\)

Como não existe \(x\) real que satisfaça essa equação, concluímos que não há valor real de \(x\) que torne \(w_1\) e \(w_2\) de mesmo módulo. Isso ilustra a importância do cálculo do módulo e da análise dos valores possíveis.