Como se determina a forma trigonométrica das raízes n-ésimas de um número complexo dado o módulo e o argumento?

Resposta

A forma trigonométrica das raízes n-ésimas é dada por:
\( W_k = r^{1/n} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sen \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \), onde \(k = 0, 1, \ldots, n-1\).

Explicação:
Quando calculamos as raízes n-ésimas de um número complexo, primeiro determinamos o módulo \(r\) da raiz como \(r^{1/n}\).
O argumento de cada raiz é obtido adicionando ao argumento original \(\theta\) incrementos de \(\frac{2\pi}{n}\) para cada valor de \(k\), divididos por \(n\).
Isso resulta em soluções que são vértices de um polígono regular no plano complexo, distribuídos igualmente em torno da origem.

Exemplo:
Considere encontrar as raízes quartas do número complexo \(Z = 16(\cos 60^\circ + i \sen 60^\circ)\).
O módulo da raiz é \(16^{1/4} = 2\) e o argumento base é \(\theta = \frac{\pi}{3}\).
As raízes serão:
\( W_k = 2 \left( \cos \frac{\pi/3 + 2k\pi}{4} + i \sen \frac{\pi/3 + 2k\pi}{4} \right), \quad k=0,1,2,3 \).
Por exemplo:
\( W_0 = 2 \left( \cos \frac{\pi/3}{4} + i \sen \frac{\pi/3}{4} \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sen \frac{\pi}{12} \right) \).
Assim, os quatro pontos representam os vértices de um quadrado no plano complexo.