Flashcard FC189899
Como determinar quais valores inteiros de \( n \) tornam a expressão \(\frac{P(n)}{Q(n)}\) um número inteiro, sabendo que \( P(n) \) e \( Q(n) \) são polinômios e \(\deg(P) \geq \d
Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
CESGRANRIO · 2018
Como determinar quais valores inteiros de \( n \) tornam a expressão \(\frac{P(n)}{Q(n)}\) um número inteiro, sabendo que \( P(n) \) e \( Q(n) \) são polinômios e \(\deg(P) \geq \deg(Q)\)?
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Resposta
Para garantir que \(\frac{P(n)}{Q(n)}\) seja inteiro, realizamos a divisão polinomial de \( P(n) \) por \( Q(n) \) e analisamos quando o resto é divisível pelo denominador.Se \(\frac{P(n)}{Q(n)} = \text{Quociente} + \frac{\text{Resto}}{Q(n)}\), o termo \(\frac{\text{Resto}}{Q(n)}\) precisa ser inteiro.
Assim, \(Q(n)\) deve dividir exatamente o resto.
Exemplo:
Considere a expressão \(\frac{n^2 + 3n + 2}{n + 2}\).
Fazendo a divisão:
\[ \frac{n^2 + 3n + 2}{n + 2} = n + 1 + \frac{0}{n + 2} \]
Como o resto é zero, \(\frac{n^2 + 3n + 2}{n + 2}\) é sempre um número inteiro para qualquer inteiro \(n\) (exceto \(n = -2\), que tornaria o denominador zero). Isto ocorre porque o denominador divide exatamente o polinômio numerador.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/188766
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