Como determinar a relação entre os coeficientes de um polinômio para que ele tenha apenas raízes inteiras, usando o Teorema das Raízes Racionais?

Resposta

Utiliza-se o Teorema das Raízes Racionais para identificar as possíveis raízes, que são divisores do termo independente, e substitui-se essas raízes no polinômio para estabelecer condições entre os coeficientes.

Exemplo:

Considere o polinômio \( q(x) = x^4 - C x^3 + D x^2 - C x + 1 \) que possui apenas raízes inteiras.

O termo independente é \(1\), então as possíveis raízes inteiras são \( \pm1 \).

Substituindo \(x = 1\):

\( q(1) = 1 - C + D - C + 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2C + D = 0 \)

Logo, \(D = 2C - 2\).

Substituindo \(x = -1\):

\( q(-1) = 1 + C + D + C + 1 = 0 \Rightarrow 2 + 2C + D = 0 \)

Logo, \(D = -2 - 2C\).

Para que ambas condições sejam verdadeiras, deve haver um ajuste nos coeficientes, mostrando que nem sempre é possível todas as raízes serem inteiras sem certas relações.

Assim, a análise das substituições fornece as relações necessárias entre os coeficientes para garantir raízes inteiras.