Como calcular a área de uma região dentro de um quadrado ao subtrair a área de um triângulo formado a partir de uma relação trigonométrica envolvendo o ângulo \(\alpha\)?

Resposta

Para encontrar a área da região, calcula-se a área total do quadrado e depois subtrai-se a área do triângulo formado.

Exemplo:

Considere um quadrado de lado \(3\,m\). Um triângulo interno tem altura igual ao lado do quadrado e base que pode ser expressa em função do ângulo \(\alpha\) pela tangente:

\(\tan(\alpha) = \frac{\text{altura}}{\text{base}} = \frac{3}{b}\) → \(b = \frac{3}{\tan(\alpha)}\).

A área do triângulo é:

\(A_{\triangle} = \frac{b \times 3}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{\tan(\alpha)} = \frac{9}{2 \tan(\alpha)}\).

Assim, a área sombreada será:

\(A_s = 9 - \frac{9}{2 \tan(\alpha)}\).

Exemplo prático:

Se \(\alpha = \frac{\pi}{3}\), então \(\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\), e

\(A_s = 9 - \frac{9}{2 \times \sqrt{3}} = 9 - \frac{9}{2\sqrt{3}} \approx 9 - 2,60 = 6,40\,m^2\).