Como calcular as diagonais de um paralelogramo a partir das medidas de seus lados e do ângulo formado entre eles?

Resposta

Utiliza-se a Lei dos Cossenos para calcular as diagonais.

Sejam os lados \(a\) e \(b\) e o ângulo entre eles \(\alpha\), as diagonais \(d\) e \(D\) são dadas por:

\(d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)\)
\(D^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(180^\circ - \alpha)\)

Exemplo prático:

Considere um paralelogramo com lados \(a = 8\,\text{cm}\), \(b = 6\,\text{cm}\), e menor ângulo \(\alpha = 45^\circ\).

Calculando a diagonal menor \(d\):

\(d^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(45^\circ)\)

\(d^2 = 64 + 36 - 96 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 100 - 67.88 = 32.12\)

\(d = \sqrt{32.12} \approx 5.67\,\text{cm}\)

Calculando a diagonal maior \(D\) considerando o ângulo suplementar \(\beta = 135^\circ\):

\(D^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(135^\circ)\)

\(D^2 = 64 + 36 - 96 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 100 + 67.88 = 167.88\)

\(D = \sqrt{167.88} \approx 12.96\,\text{cm}\)