Flashcard FC189988
Como calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica e qual é o comportamento dessa soma quando n tende ao infinito?
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2011
Como calcular a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica e qual é o comportamento dessa soma quando n tende ao infinito?
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Resposta
Soma dos n primeiros termos de uma PG:\( S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \)
Quando \( |q| < 1 \), a soma tende a um valor limite conforme n cresce:
\( S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q} \)
Exemplo:
Considere uma PG com primeiro termo \( a_1 = 50 \) e razão \( q = \frac{1}{5} \).
A soma dos primeiros n termos será:
\( S_n = \frac{50(1 - (1/5)^n)}{1 - 1/5} = \frac{50(1 - (1/5)^n)}{4/5} = \frac{250(1 - (1/5)^n)}{4} \)
À medida que n aumenta, \((1/5)^n \to 0\), então:
\( S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{250}{4} = 62,5 \)
Isso significa que a soma das áreas (ou termos) da progressão nunca ultrapassará 62,5, mas pode ser aproximada arbitrariamente.
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