Flashcard FC190002
Qual condição deve ser satisfeita para que um retângulo formado por um fio flexível tenha a maior área possível?
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2010
Qual condição deve ser satisfeita para que um retângulo formado por um fio flexível tenha a maior área possível?
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Resposta
A maior área ocorre quando o retângulo é um quadrado.Para maximizar a área de um retângulo com perímetro fixo, o retângulo deve ter seus lados iguais, ou seja, ser um quadrado. Isso pode ser demonstrado pela função da área em função de um lado e o perímetro, resultando em uma parábola com um ponto máximo.
Exemplo: Suponha um fio com comprimento de 24 cm, e queremos formar um retângulo com a maior área possível.
Pela fórmula do perímetro:
\(2x + 2y = 24 \Rightarrow x + y = 12\)
Isolando \(y\):
\(y = 12 - x\)
Área em função de \(x\):
\(A(x) = x \cdot y = x(12 - x) = 12x - x^2\)
Como a função \(A(x)\) é uma parábola invertida, seu máximo ocorre no vértice:
\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \times (-1)} = 6\)
Logo, \(y = 12 - 6 = 6\), indicando que para a área máxima os lados devem ser iguais — ou seja, o retângulo é um quadrado de lados 6 cm.
A área máxima é:
\(A_{\text{máx}} = 6 \times 6 = 36\, cm^2\).
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Veja como foi cobrado:
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