Flashcard FC190003
Como determinar a dimensão que maximiza a área de um retângulo dado um limite fixo para o comprimento do perímetro, incluindo divisões internas?
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2010
Como determinar a dimensão que maximiza a área de um retângulo dado um limite fixo para o comprimento do perímetro, incluindo divisões internas?
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Resposta
Maximizamos a área expressando uma das dimensões em função da outra a partir da restrição do perímetro, formando assim uma função quadrática da área, e depois encontramos seu ponto máximo usando a fórmula do vértice.Exemplo:
Considere um terreno retangular com comprimento x e largura y. Suponha que a cerca disponível totalize 400 m e que haja uma cerca interna paralela ao comprimento, dividindo o terreno.
A cerca total será: \(3x + 2y = 400\), pois são três segmentos paralelos ao comprimento (duas externas e uma interna) e dois segmentos de largura.
Isolando \(y\):
\(2y = 400 - 3x \implies y = 200 - \frac{3x}{2}\)
A área é dada por:
\(A(x) = x \cdot y = x \cdot \left(200 - \frac{3x}{2}\right) = 200x - \frac{3}{2}x^2\)
Para maximizar \(A(x)\), encontramos o vértice da parábola:
\(x_{\text{vértice}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2 \times -\frac{3}{2}} = \frac{200}{3} \approx 66{,}67\)
Substituindo em \(y\):
\(y = 200 - \frac{3 \times 66{,}67}{2} = 200 - 100 = 100\)
Assim, as dimensões que maximizam a área são aproximadamente \(x = 66{,}67\) m e \(y = 100\) m, e a área máxima será:
\(A_{\max} = 66{,}67 \times 100 = 6667 \, m^2\).
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Veja como foi cobrado:
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