Flashcard FC190018
Como se determina as dimensões de um retângulo quando é conhecida a área e a relação entre comprimento e largura?
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2010
Como se determina as dimensões de um retângulo quando é conhecida a área e a relação entre comprimento e largura?
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Resposta
Resolva a equação quadrática que surge ao substituir as dimensões expressas em função de uma variável na fórmula da área.Quando a área \(A\) de um retângulo é conhecida e o comprimento \(C\) tem uma relação com a largura \(L\), por exemplo, \(C = L + k\), substituímos na fórmula da área:
\(A = L \times C = L \times (L + k) = L^2 + kL\)
Assim, obtemos uma equação quadrática em \(L\). Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara, encontramos as possíveis medidas para \(L\). A partir disso, determinamos \(C\).
Exemplo: Calcule as dimensões de um retângulo com área \(50\, m^2\) se o comprimento é 5 metros maior que a largura.
Seja \(L\) a largura.
Comprimento: \(C = L + 5\)
Área: \(50 = L \times (L + 5) = L^2 + 5L\)
Montamos a equação:
\(L^2 + 5L - 50 = 0\)
Calculando o discriminante:
\(\Delta = 5^2 - 4 \times 1 \times (-50) = 25 + 200 = 225\)
Aplicando a fórmula:
\(L = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-5 \pm 15}{2}\)
Soluções:
\(L_1 = \frac{-5 + 15}{2} = \frac{10}{2} = 5\, m\), válida;
\(L_2 = \frac{-5 - 15}{2} = \frac{-20}{2} = -10\, m\), inválida.
Logo, largura = 5 m e comprimento = \(5 + 5 = 10\, m\).
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